[ Esta guía está orientada a alumnos de secundaria como referencia para sus ejercicios de sistemas de ecuaciones]
Los sistemas de ecuaciones nos permiten analizar las relaciones entre multiples variables. El caso básico, que es el que centra los esfuerzos de los cursos de secundaria y de este artículo, es el de un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas, designadas como x e y. Resolver matemáticamente uno de estos ejercicios no siempre es sencillo y en este artículo trataremos de explicar las diferentes “herramientas” que tenemos a nuestro alcance para poder lograrlo. Existen tres métodos algebraicos y un método gráfico que veremos a continuación.
Método de sustitución
Este primer método consiste en despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones, sustituyendo este “despeje” en la otra. Veamoslo en el siguiente ejemplo de sistema con dos ecuaciones:
x + 3y = 4 }
2x - y = 1 }
Los números que multiplican a cada incógnita vamos vamos a llamarlos coeficientes (por ejemplo el coeficiente de la variable y en la primera ecuación es 3) y los números que no multiplican a ninguna incógnita (como el 4 en la derecha de la primera ecuación) tienen el nombre de constantes o términos independientes.
1) Despejamos x en la primera ecuación. En este caso queda:
x = 4 - 3y
2) Sustituimos en la segunda, siendo la ecuación resultante:
2 ( 4 – 3y) - y = 1 → 8 – 6y - y =1 → -7y = - 7 → y = 1
3) Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:
x = 4 - 3 ∙ 1 = 4 – 3 = 1 → Por lo tanto los valores solución de de x e y quedan como x = 1 e y = 1.
Podríamos elegir empezar el ejercicio despejando y en la primera ecuación y sustituyendo después en la segunda ecuación, o incluso empezar el ejercicio despejando x o y en la segunda ecuación para después sustituir en la primera ecuación. Con cualquiera de estas posibilidades (animamos al lector a verificar varias de ellas), llegaremos a la misma solución x = 1 e y = 1.
Método de igualación
Este método es similar al anterior, pero en este caso vamos a despejar la misma variable en las dos ecuaciones para después igualar estos dos “despejes” y encontrar la solución de la otra variable. Siguiendo con el mismo ejemplo:
x + 3y = 4 }
2x - y = 1 }
1) Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo la x,
x = 4 – 3y
x = (1 +y) / 2
2) Igualamos las dos x
4 - 3y = (1+ y) / 2 → Aplicamos producto cruzado y el 2 pasa multiplicando a 4 – 3y
8 - 6y = 1 + y → -7y = -7 → y = 1
3) Sustituimos el valor de y = 1 en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obetener el valor de x, que de nuevo dará x = 1. Por ejemplo,
x + 3 ∙ 1 = 4 → x + 3 = 4 → x = 4 – 3 = 1 → x =1
Método de reducción
El último método algebraico difiere de los anteriores ya que en este caso vamos a restar o sumar ecuaciones entre sí, multiplicando por una constante alguna ecuación si es necesario. Con estas sumas y restas de ecuaciones buscamos eliminar una de las dos variables en unas de las dos ecuaciones y poder operar con la otra. Siguiendo con el mismo ejemplo:
x + 3y = 4 }
2x - y = 1 }
1) Elegimos la variable a eliminar, por ejemplo x, y la ecuación de la que queremos eliminarla, por ejemplo la segunda. Normalmente es útil que la variable a eliminar tenga como coeficiente el 1 en alguna de las dos ecuaciones, como por ejemplo en este caso x en la primera ecuación, ya que simplifica las operaciones a realizar.
Como queremos eliminar el término 2x de la segunda ecuación, vamos a multiplicar la primera ecuación por -2. La primera ecuación multiplicada por -2 quedaría así:
-2x - 6y = - 8
2) Sumamos las dos ecuaciones del sistema
-2x - 6y = - 8
2x - y = 1
0 – 7y = -7 → Si despejamos esta sencilla ecuación resulta y = 1
3) El último paso sería sustituir el valor de y en alguna de las ecuaciones, ya sean las originales o la transformada por -2 y obtendríamos que x = 1. Por ejemplo, sustituyendo en la primera ecuación original:
x + 3 ∙ 1 = 4 → x + 3 = 4 → x = 4 – 3 = 1 → x =1
El ejercicio se podría resolver eliminando x o y de cualquier otra ecuación. Por ejemplo, el lector puede intentar eliminar el término 3y de la primera ecuación sumando la segunda ecuación multiplicada por 3. También es posible eliminar el término x de la primera ecuación restando la segunda ecuación multiplicada por (1/2), o eliminar el término -y de la segunda ecuación sumando la primera ecuación multiplicada por (1/3). Animamos al lector a comprobar que todas las posibilidades dan la misma solución x =1 e y = 1.
Método gráfico
El método gráfico consiste en obtener la solución de las ecuaciones por medio de un dibujo de las rectas que componen el sistema en los ejes cartesianos (x, y). Toda ecuación de 1º grado tiene una recta como representación gráfica y para poder dibujarla vamos a necesitar dos puntos de este recta. Volviendo al ejemplo:
x + 3y = 4 }
2x - y = 1 }
1) Obtenemos los puntos de x + 3y = 4 dando valores a x. Es recomendable dar valores pequeños para facilitar los cálculos.
Si x = 0 → 3y = 4 → y = 4/3 → El primer punto tiene como coordenadas (0 , 4/3)
Si x = 1 → 1 + 3y = 4 → y = 1 → El segundo punto tiene como coordenadas (1 , 1)
2 ) Hacemos lo mismo para 2x - y = 1
Si x = 0 → -y = 1 → y = -1→ El primer punto tiene como coordenadas (0 , -1)
Si x = 1 → 2 -y = 1→y = 1 → El segundo punto tiene como coordenadas (1 , 1)
3) Dibujamos las dos rectas uniendo los puntos que hemos hallado. Si el sistema tiene solución estas rectas deberían ser secantes (se cortan en un punto) que en este caso será el (1, 1). Es importante hacer el dibujo con la máxima precisión para evitar distorsiones en la gráfica y reducir el margen de error a la hora de asignar los valores. Mostramos los resultados del dibujo:
Hay que tener en cuenta que podemos realizar cualquiera de los métodos algebraicos de las secciones anteriores para trabajar sobre seguro y tener una comprobación del resultado del método gráfico.
Esperamos que este breve artículo sea de ayuda para todo aquel que esté interesado en iniciarse en la resolución de sistemas de ecuaciones. En el futuro ampliaremos el blog con más artículos sobre matemáticas ¡Estad atentos a futuras entregas!
Icarus