Se puede afirmar sin correr muchos riesgos que miles de escolares de muy distintas generaciones han escuchado alguna vez "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos", esto es, el famoso teorema de Pitágoras. Sin embargo, muy pocas veces se nos enseña algo sobre la biografía de este matemático que según la tradición nos proporcionó este útil teorema, y también son muchos menos los estudiantes que saben demostrar por qué el teorema es cierto. En la entrada del blog de hoy, vamos a tratar estas dos cuestiones.

Una de las razones por las que no se explica la vida de Pitágoras es porque no se han conservado registros escritos de ésta. Pitágoras vivió en el siglo VI antes de Cristo, es decir, más de 25 siglos o 2.500 años separan su tiempo de nuestra época actual, y no dejó ninguna obra propia escrita. Se cree que nació en Samos (Grecia), pero emigró a Italia donde fundó una comunidad religioso-científica en la ciudad de Crotona (en la parte central de Italia). Esta comunidad o secta tuvo gran influencia en el mundo Griego antiguo y ésta es probablemente la razón de que conservemos el conocimiento de la existencia de Pitágoras y los trabajos científicos realizados por él y por esta comunidad.

Es interesante señalar que esta comunidad no era puramente un grupo científico, sino que también tenía un trasfondo religioso y moral, con los miembros del grupo adhiriéndose a los principios dictados por el sistema filosófico de Pitágoras. Sus trabajos científicos cubrieron las matemáticas, en especial la geometría, y también la astronomía y la teoría de la música (las consonancias musicales tienen un equivalente numérico en la ondulación de las cuerdas que las producen). A los Pitagóricos debemos el aforismo "Todo es Número" que recoge la idea de que todo lo que existe en la naturaleza tiene una interpretación numérica.

Volviendo sobre el teorema más famoso de Pitágoras y su escuela de pensamiento, vamos a presentar una prueba sencilla de que es una afirmación verdadera. Este teorema está en la memoria de muchos pero resulta sorprendente ver su demostración. Formalmente, tomamos un triángulo rectángulo y definimos la longitud de su hipotenusa (c) y de sus catetos (a y b).

 Ahora construimos un cuadrado combinando cuatro copias del triángulo que hemos presentado en la figura anterior. Este cuadrado se ve en la siguiente figura:

En realidad ya hemos hecho el paso más costoso de la prueba al dibujar el cuadrado. Ahora sólo necesitamos usar unas fórmulas de áreas sencillas: (i) el área de un cuadrado es igual a la longitud de su lado al cuadrado, (ii) el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de sus catetos dividido entre dos. La clave de la prueba está en darse cuenta de que el área del cuadrado grande de la segunda figura se puede calcular de dos maneras: (1) como la suma del cuadrado blanco con lado c y los cuatro triángulos azules o (2) directamente elevando uno de sus lados de longitud (a+b) al cuadrado.

Por el procedimiento (1), el área total del cuadrado es:

c² + 4 ∙ (a ∙ b)/2 = c² + ∙ 2 (a ∙ b)

Por el procedimiento (2), el área total del cuadrado es:

(a+b)²=a²+b²+2∙a∙b

Como el cuadrado es el mismo, las dos formas de calcular su área han de dar el mismo resultado y podemos igualar las áreas obtenidas mediante los procedimientos (1) y (2).

 c² + ∙ 2 (a ∙ b) = a²+b²+2∙a∙b

 c² = a²+b²

Hemos obtenido que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos, que es justo el resultado que queríamos probar, el famoso teorema de Pitágoras, que ahora esperamos es también un poco más un teorema del lector.

Escrito por Erwin.